UNIDAD II

EL RAZONAMIENTO

¿Qué es el razonamiento?

El razonamiento es una operación lógica mediante la cual, partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro juicio distinto. Por lo general, los juicios en que se basa un razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo menos, postulados como hipótesis.

Cuando la operación se realiza rigurosamente y el juicio derivado se desprende con necesidad lógica de los juicios antecedentes, el razonamiento recibe el nombre de inferencia. Los juicios que sirven como punto de partida son denominados premisas y desempeñan la función de ser las condiciones de la inferencia. El resultado que se obtiene, o sea, el juicio inferido como consecuencia, es llamado conclusión.

La inferencia permite extraer de los conocimientos ya establecidos, otro conocimiento que se encuentre implícito en las premisas o que resulte posible de acuerdo ellas. Cuando en la conclusión se llega a un conocimiento menos general que el expresado en las premisas, se habrá efectuado una inferencia deductiva. Cuando la conclusión constituye una síntesis de las premisas y, por consiguiente, un conocimiento de mayor generalidad, se habrá practicado una inferencia inductiva. Y, cuando la conclusión tiene el mismo grado de generalidad o de particularidad que las premisas, entonces se habrá ejecutado una inferencia transductiva. La ejecución de las inferencias se realiza conforme a ciertas reglas que han sido dilucidadas en la experiencia y formuladas de un modo estricto por la lógica. En todo caso, lo que se obtiene como conclusión de una inferencia es simplemente un juicio de posibilidad, o lo que es lo mismo, una hipótesis.

Razonamiento inductivo y deductivo

El razonamiento deductivo parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares. Va de lo general a lo particular. Es una forma de razonamiento donde se infiere una conclusión a partir de una o varias premisas. El filósofo griego Aristóteles, con el fin de reflejar el pensamiento racional, fue el primero en establecer los principios formales del razonamiento deductivo.

El razonamiento inductivo, por otro lado, es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general, justo lo contrario de la deducción. La base de la inducción es la suposición de que algo es cierto en algunas ocasiones, también lo será en situaciones similares aunque no se haya observado. Una de las formas más simples de inducción ocurre cuando a través de una serie de encuestas, de las que se obtienen respuestas dadas por una muestra, es decir, de una parte de la población total, nos permitimos extraer conclusiones acerca de toda la población. 

Este tipo de razonamiento se ha utilizado durante todo el desarrollo de la geometría.

POSTULADOS DE ELUCIDES

Postulado: Un postulado es una proposición que no es evidente por sí misma ni está demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referido.

Los postulados de Euclides, hace referencia al tratado denominado Los Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos; estos son:

1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta.

2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.

3. Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

                                                                                                                 
 Los Elementos de Euclides

¿COMO APRENDE GEOMETRÍA UN ALUMNO?

La Teoría de van Hiele o Modelo de van Hiele o Niveles van Hiele es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio holandés van Hiele.El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde se desarrolla la teoría es Structure and Insight : A theory of mathematics education. La teoría se encasilla dentro de la didáctica de la matemática y específicamente en la didáctica de la Geometría

Los artículos relacionados a la descripción de los niveles, los enumeran desde cero, otros lo hacen desde uno, en este documento optaremos por la denominación clásica desde cero.

 Es importante señalar que según este modelo, se determina el nivel de aprendizaje de un alumno no tanto por lo que puede resolver o hacer, sino por la forma cómo se expresa y la forma cómo razona.Para facilitar la comprensión de los niveles, usaremos como ejemplo el caso de las figuras geométricas.

Nivel 0:    Visualización (algunos la denominan reconocimiento).

En este nivel el vocabulario del estudiante esta muy alejado del rigor científico, es posible que el estudiante use algunos términos geométricos, sin embargo se descubre que no ha superado este nivel si las justificaciones o identificaciones se relacionan más con el entorno que con la conceptualización formal. En nuestro caso (figuras geométricas) reconoceremos que el estudiante se encuentra en el nivel de visualización si:

• Hace referencias a prototipos externos para describir las figuras, por ejemplo dice que un cuadrado es como una ventana.
• Usa propiedades imprecisas para ordenar, comparar, describir o identificar figuras geométricas, por ejemplo dicen que los triángulos tienen tres puntas.
• Muchas veces compara figuras geométricas o las clasifica basándose en su apariencia global pero no porque identifique sus propiedades. Esto se reconoce este nivel cuando dice: todas estas son del mismo tipo porque se parecen a …. , tienen la forma de ….
• Al identificar las figuras incluye aspectos irrelevantes, como por ejemplo: el color, el tamaño o la posición.
• Puede reconocer las partes de las figuras pero no logra determinar la figura por la identificación de sus componentes.

Nivel 1:    Análisis 
Es importante resaltar que aquí la expresión análisis no tiene exactamente el mismo significado que en otras taxonomías. Siguiendo con nuestro caso (figuras geométricas) reconoceremos que el estudiante se encuentra en el nivel de análisis si:

• Puede describir las partes de las figuras, enuncia sus propiedades, utiliza un vocabulario más formal que en el nivel anterior.
• No entiende la necesidad de utilizar las definiciones del libro o del profesor y prefieren recitar las propiedades de las figuras para identificarlas.
• Deduce propiedades a partir de la generalización de ejercicios similares.
• Considera que la geometría es experimental y por lo tanto, observan una variedad de figuras, miden, prueban y concluyen a partir de sus experiencias.
• No puede hacer inferencias en base a propiedades que ya ha comprendido.
• No puede establecer relación entre las propiedades que ha descubierto.

  Nivel 2:    Clasificación El estudiante ha superado el nivel de análisis y se encuentra en el nivel de clasificación si:

• Empieza a reconocer que unas propiedades se deducen de otras y empieza a deducir las consecuencias, pero aún no pueden hacer demostraciones formales.
• Puede entender una demostración pero no puede construirla por sí mismo.
• Se va dando cuenta que los conocimientos tienen una estructura lógica pero aun no puede explicitarla o no puede hacer contrarreferencias.
• Puede realizar razonamientos deductivos informales, sobre todo si conocen algunas reglas lógicas como la de transitividad.
• Usa representaciones gráficas como una forma de justificar sus deducciones.
• Puede identificar propiedades que en conjunto tipifican a unas figuras descartando a otras.
• Identifica conjuntos mínimos de propiedades que caracterizan a una familia de figuras.
• En sus razonamientos lógicos hace uso de las definiciones usándolas correctamente.
• Pueden aceptar definiciones equivalentes.

Nivel 3:    Deducción formal Es el penúltimo nivel y por ello el estudiante ya puede realizar razonamientos lógicos y formales.

• Las demostraciones cobran sentido y reconoce su necesidad como único medio de verificación de la afirmación.
• Realiza conjeturas y busca verificar la veracidad de las mismas
• Puede construir demostraciones, compararlas y criticarlas.
• Aceptan la existencia de definiciones equivalentes y pueden demostrar su equivalencia.
• Da argumentos deductivos formales.
• Puede comprender la estructura axiomática.
• Piensa en las mismas cuestiones que en los niveles anteriores pero ahora busca justificaciones y elabora criterios, argumentos y razones.

 Nivel 4:    Rigor Es el último nivel, y a pesar que los niveles no están relacionados con la edad, se asume que es un nivel propio del nivel universitario o profesional, siguiendo con nuestro ejemplo de los polígonos:

• Puede prescindir de cualquier soporte gráfico o concreto para lograr la deducción de nuevos conceptos.
• Puede utilizar más de un sistema axiomático, analizarlo y compararlo, así pueden usar propiedades de la geometría euclidiana en al geometría analítica.

¿QUE DEBE HACER EL DOCENTE?

Para garantizar el logro adecuado de las habilidades de un cierto nivel, el modelo de Van Hiele propone que el docente promueva el desarrollo de cinco fases: 

Fase 1:    Información 

Esta fase tiene dos etapas:

• Una etapa llamada de indagación, en la que el profesor indaga sobre los conocimientos previos de los estudiantes en el campo que se va a abordar. Si los estudiantes ya estudiaron el tema, el profesor debe poder determinar que conocimientos han sido adquiridos correctamente y cuales no, y sobre todo en que nivel de razonamiento se encuentran los estudiantes. Recordar que, aún en el caso que el tema no haya sido estudiado es posible que los estudiantes tengan conocimientos intuitivos.
• Otra etapa, llamada de toma de contacto, en la que el profesor explica a los estudiantes sobre el campo de estudio, da las indicaciones de la forma de trabajo, los materiales que van a trabajar, etc.

Fase 2:    Orientación dirigida

Como su nombre lo indica, para esta fase el profesor prepara materiales que permiten a los estudiantes explorar el tema (de acuerdo al nivel que se trata de desarrollar).El profesor orienta, ayuda, dirige el aprendizaje procurando dar indicaciones para que superen sus dificultades, evitando dar soluciones por sí mismo. 

Fase 3:     Explicación

En esta fase los estudiantes intercambian sus experiencias, comentan lo que han observado, explican cómo han resuelto las actividades, todo ello en un ambiente de diálogo grupal. En esta fase los estudiantes refuerzan sus aprendizajes procurando construir argumentos que les permitan argumentar sus puntos de vista, sobre todo en diálogos grupales o en plenarios. En esta fase el estudiante debe adquirir el vocabulario propio del nivel. Esta fase debería estar inmersa en todas las etapas del proceso de enseñanza aprendizaje. 

Fase 4:    Orientación libre

Una vez cubiertas las tres primeras fases, es posible que los estudiantes sientan que han comprendido el tema de estudio, por ello en esta fase el profesor ya no propone los ejercicios típicos de los libros de texto, sino que propone problemas en los que hay que conjugar varios conceptos, propiedades e incluso interpretaciones para encontrar alguna solución.

Estos ejercicios podrían ser verdaderos problemas, incluso con enunciado abierto (es decir el estudiante puede plantear algunas condiciones específicas para resolver el problema). También es importante proponer en esta etapa problemas que tengan más de un camino de solución de modo que los estudiantes puedan discernir sobre la conveniencia de usar uno o el otro.

Fase 5:    Integración

Hasta la fase tres, el estudiante ha estado adquiriendo conceptos nuevos y un nuevo vocabulario, en la fase cuatro discute sobre diversas formas de usar los conocimientos que ya tiene. En esta fase el profesor debe ayudar a los estudiantes a que organicen los conocimientos que han adquirido, es importante también que comprendan global mente el tema tratado, comparándolo, unificándolo y catalogándolo.


PARA AMPLIAR NUESTROS CONOCIMIENTOS SOBRE GEOMETRÍA, EN ESTE SITIO WEB ME HA AYUDADO EN LO PERSONAL, Y ESPERO QUE AL LECTOR TAMBIÉN LE SEA DE BENEFICIO...

GEOMETRÍA INTERACTIVA